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有限元法中单元类型和密度对计算结果的影响

有限元法中单元类型和密度对计算结果的影响 2011年12月03日 来源： 工程中的大量计算问题可以归结为经典的解析求解和数值计算求解两大类方法.由于解析求解的复杂性和实际工程问题的多样性，使解析求解在实际工程中的应用相对较少.而计算机技术的迅猛发展和数值计算技术的不断完善，使数值计算方法在当前的工程分析中，应用得愈来愈普及.特别是大型综合有限元计算软件的推出，更是使得该方法成为了工程分析中不可替代的、具有划时代意义的计算分析工具.但是由于有限元法是一种数值计算方法，其计算分析的精度受到单元类型和单元划分密度的影响.而如何界定有限元计算结果精度，目前尚无确定的理论和指标来进行度量.所以技术人员目前只能借助以往的经验，来判定计算结果的准确与否.而对计算精度是否满足实际的需要，也还没有一个具体的概念.笔者将从3个具体的力学模型出发，结合有限元数值解的收敛理论，来探讨一下模型中单元类型和单元密度，对计算结果精度的影响，一求获得在该问题中的一般规律.1 有限元数值计算解的收敛理论数值分析方法总的可分为两大类，一是有限差分法，一类是等效的积分提法.所谓等效的积分提法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分形式，然后在建立近似数值解法(如配点法、最小二乘法等).如果原问题的方程具有某些特定的性质时，它的等效积分提法就可以归结为某个泛函的变分，相应的数值解法就是求解泛函的驻值问题.里兹法就是从一族全求解域的试探函数中寻求满足泛函变分的“最好的”解的方法.而有限元方法是里兹法的一种特殊形式.其与里兹法的区别在于其试探函数是定义域单元(子域)而不是全求解域.这样就可以从里兹法的收敛条件，得出有限元解的收敛条件.即:条件1:完备性要求.即单元内场函数的试探函数多项式的阶次至少应等于泛函中场函数的最高阶导数的阶次.条件2:协调性要求.试探函数在单元交界面上应具有直至m-1阶的连续导数.条件1是解收敛的必要条件.满足该条件的单元称为完备单元;条件2是充分条件，满足该条件的单元称为协调单元.在很多的商业软件中还大量采用了一种非协调单元.这种单元在通过分片试验后，也能使有限元的解收敛.当分析的间题是力学问题时，单元的试探函数常常就是单元的位移插值函数(或称单元的位移模式).由于这种插值函数多数是取有限项的多项式函数，所以有限元的解通常只能是解析解的近似解.只有在有限项的多项式函数能精确拟合真正解时，有限元的解才能得到精确的解答.2 3个力学实例的有限元分析实例1 20 a的工字钢构建成跨度为5m的简支梁，如图1所示.

1)跨中承受30 kN的集中载荷.2)全跨度承受6 N/mm的均布载荷.运用梁单元分析其最大挠度和最大正应力.解析解为:

查文献，20 a工字钢的横截面面积A=355 780mm2,惯性矩Ix=2.37 X 10*7 mm4，梁高h=200mm.将已知的条件，跨度L=5 000 mm,P=30000 N,q = 6 N/mm代入以上公式可得

在ANSYS程序中分别采用BEAM4和BEAM44单元进行分析，结果见表1，表2.

实例2 如图2所示的带孔板，板厚10 mm左右两边受有10 N/mm的均布载荷.

运用ANSYS程序中的PLANE42, PLANE2,PLANE182和PLANE183单元分析.计算结果见图3，比较见表3。

查文献，该问题孔边上的解析解为

将θ=0°,90°代入，可得:σ0=-q=10 MPa,σ90=3q=-30 MPa.实例3 如图4所示四周简支的正方形板，板厚20 mm，受均匀分布的压力q=0.1 N/mm2，试计算板中心点的挠度和应力.

查文献，该问题解析解

3 结果分析由表1和表2可以看出梁类问题的计算结果不受单元类型和单元密度的影响，其结果与解析解基本完全一致.这样的结果表明，在梁的分析问题中，关键是最大的挠度和应力处应该设置节点，而无需追求单元的密度和单元的类型.由于BEAM4和BEAM44单元是ANSYS程序中最常用的两类梁单元，BEAM44单元更具有梁的SECTION DATA属性和偏置功能，对工程实际中的一些问题，处理起来更为合理和方便，所以在今后的运用中应作为首选的梁类单元.由表3可以看出几种平面单元在单元密度不够时，都不能得到较好的计算精度.几种平面单元的计算精度，由高到低，依次是PLANEI83.PLANE182. PLANE2和PLANE42.由于PLANE183和PLANE2是8节点和6节点的四边形、三角形等参元，所以它们虽然单元数和PLANE42和PLANE182相同，但节点数却大得多.而节点数的大小直接关系到结构总刚度矩阵的存储规模.所以平面问题的计算精度，总的说来，是受节点数的多少控制的。

在单元数和节点数都相同的PLANE42和PLANE182单元，明显的PLANE182要优于PLANE42单元.所以在平面问题的分析，应该优先选用PLANE182单元.并且其计算结果的精度，对实际工程问题(因没有解析解可比)应该有改变单元密度的试算过程，只有这样才能确定合适的单元密度.这一密度应确保计算结果具有工程计算必须的精度.因为以上的力学问题中采用的都是协调单元，而板壳单元是非协调单元，所以由表4可以看出采用非协调单元时，计算精度的预估更是不容忽视的一个问题.首先注意到8节点的等参元与4节点的等参元在板壳计算中精度的优势并不如平面问题中强;其次在非协调单元中，采用高阶次的等参元对计算精度的提高，不如增加单元划分密度来得快.

由子有限元数值计算的误差除了受试探函数(力学中的位移插值函数)阶次高低的影响外，还受计算机浮点位数多少和方程病态程度的影响，这些复杂的原因纠缠在一起，使得目前还没有一个公认合适的计算方法来加以判定.随着有限元计算技术的不断扩展，在该方面的研究势必会不断加强.4 结论综合3结果分析的讨论，可以得出以下3点结论.1)梁类问题的计算，应该注重节点位置的设置，而无需采用高密度的单元划分，解决计算精度的问题.并且应该优先采用BEAM44单元进行分析.2)平面问题中的应优先采用PLANE182单元，板壳问题中的应优先SHELL63单元.当计算精度不能满足要求时，对于协调单元，可以考虑采用高阶次的单元提高精度，而对于非协调单元，增加单元划分的密度，应该效果更为明显.3)除梁类分析的问题外，不论是板壳模型，还是平面问题模型，在没有实际数据对照的情况下，都必须采用改变单元划分密度的方法，检查计算结果的精度，是否达到所需的工程分析要求。(end)

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